외계행성 X의 물리학



[1] 외계행성X에는 자연의 규칙성을 찾아내고 그 원리를 알고 싶어하는 호기심 많은 일단의 집단이 있었습니다. 이들을 편의상 외계인 물리학자라고 부르겠습니다. 이들은 수학이 자연의 규칙성을 표현하는 매우 유용한 지식 체계라는 결론을 내리고, 자신들의 정밀한 측정 결과들을 토대로 '자연 법칙'을 수학적으로 표현하기 시작했습니다. 한편 스마트한 외계인 중에는 복잡하고, 정돈되지 않은 관측 결과 사이에 숨겨진 수학적 관계를 잘 이해하는 능력을 가진 자들이 있었는데 이들을 '외계인 이론물리학자'라고 불렀고, 다루기 힘든 관측 장비들을 잘 이용하여 알려지지 않은 정밀도로 복잡한 현상을 잘 측정해내는 자들을 '외계인 실험물리학자'라고 불렀습니다. 둘은 서로의 재능을 뽐내고 시기와 질투를 하였지만, 때로는 협력해서 할아버지 외계인 물리학자들이 알아내지 못한 새로운 현상을 알아내기도 하고, 더 깊은 수준의 물리학 법칙들을 함께 알아내기도 하였습니다. 오늘은 이들의 한가지 특별한 발견을 소개하고자 합니다.

[2] 외계행성X의 물리학자들은 자신들이 살고 있는 행성이 대단히 크다는 것을 알고 있었지만, 그 모양이나 크기에 대해서는 잘 몰랐습니다. 가끔 외계행성X의 달에 비친 그림자를 보고 자신들의 행성의 모양이 둥글다는 과감한 생각을 하는 사람들도 있었지만, 직접 행성을 한바퀴 돌아서 이것을 증명할 만큼 한가한 외계인은 없었고, 따라서 이 '구형 가설'은 오랫동안 증명되지 못했습니다.

[3] 어느날 물리학자들은 놀라운 사실을 발견했는데 자신들이 사용하는 먹물 펜을 떨어뜨리면 낙하 가속도가 거의 일정하다는 것을 알아낸 것입니다. 이 사실을 알아낸 외계인 물리학자들은 먹물 펜 뿐만 아니라 "SHAGWA"라고 불리는 과일도 떨어뜨려 보았고, "BANA-BANA"라는 과일도 떨어뜨려 보았고 온갖 물건들을 떨어뜨려 보았습니다. 놀랍게도 이 가속도가 먹물 펜과 똑 같다는 것을 알아내고 흥분할 수 밖에 없었습니다. 온갖 물건들에 대해 늘 나타나는 이 신비로운 가속도를 자연의 기본 상수로 받아들이기로 합의하고, 외계인 왕립물리학회에서 이를 '만유가속상수(universal acceleration constant)''라 불렀고, \(g\)와 비슷하게 생긴 자신들의 기호로 나타내었습니다. 편의상 우리는 \(g_0\)로 부르겠습니다.

\begin{eqnarray}
g_0=만유가속상수
\end{eqnarray}
이 상수의 차원은 \( L T^{-2}\)와 같습니다.

[4] 이 현상과 관련해서 수많은 논문이 쏟아졌고, 놀라운 합치에 다들 만족스러워했습니다만 한 호기심 많은 외계인 물리학자는 혹시 높은 곳에 올라가서 만유가속상수를 측정하면 무슨 일이 벌어지는지 궁금했고, 일단 자신이 이미 갖고 있던 장비들을 이용해서 연구실 안에 10미터짜리 탑을 만들어 실험했지만 만유가속상수는 여전히 잘 들어맞았습니다. 똑똑하게도 이 물리학자는 자신이 이미 갖고 있던 장비로는 만유가속상수를 1/1000 정도의 정밀도로만 측정할 수 있기 때문에 높이에 따른 차이를 볼 수 없었다는 의심을 하였습니다.

이 외계인 물리학자는 외계인 연구재단에 연구비를 신청해서 10~100 미터 높이의 탑에서 측정하고, 자신의 정밀도도 1/10000 정도가 될 수 있도록 연구계획서를 제출했고, "쓸모 없는 연구"라는 평가자들의 두번에 걸친 퇴짜에도 불구하고 세번째 시도에서 연구비를 타는데 성공했습니다. "이 연구를 통해 개발한 연구 장비를 활용한 제품을 개발하여 경제에 이바지 할 수 있다"는 말을 집어 넣은 것이 도움이 되었습니다.

아무튼 9년에 걸친 힘든 노력 끝에 이 외계인 물리학자 "쯔바이스타인" 혹은 그 비슷한 발음의 이름을 가진 학자는 만유가속상수가 실제로는 상수가 아니며 높이에 따라 작아진다는 사실을 알아내어 발표하였습니다. 그가 발견한 새로운 가속도 법칙은 아래와 같았습니다.
\begin{eqnarray}
g(h) = g_0 \times \left(1-\frac{h}{L_*}\right)
\end{eqnarray}
여기서 \(g_0\)는 예전에 만유가속상수로 불렸던 값인데, 높이가 올라가면 높이에 비례해서 원래 값에서 멀어지는 패턴이 나타났습니다. 물론 높이가 높지 않을 때 \(h/L_* \ll 1\)이어서 원래의 상수값으로 환원되므로 과거에 잘못된 결론을 갖고 있었던 이유도 이해가 되었습니다. 그런데 새로운 고민이 생겼습니다. \(L_*\)는 대체 무엇일까? 이 새로운 길이의 차원을 가지는 물리량은 낙하하는 물체의 성질과 특별히 관계가 없었습니다. 후속 연구를 통해 \(L_*\)값은 보다 정밀하게 측정되었습니다.
$$L_* = 3141 \pm 5 ~{\rm km}$$
어렴풋이 이 값이 외계행성X의 크기와 모종의 관계가 있지 않을까하는 생각이 들었지만 이를 증명하기에 자신은 나이가 이미 너무 들었다는 생각을 하였습니다.

[5] 세월이 흘렀습니다. 외계인 행성X의 상인들은 물리학자들의 도움을 받아 더 멀리 무역을 할 수 있게되었고, 그 보답으로 더욱 정밀한 실험을 수행할 수 있는 자금을 기꺼히 제공했습니다. 이제 외계행성 X는 실제로 구형이며, 그 둘레 \(C\)도 측정이 되었습니다. \(C =39740~{\rm km} \).. 그 결과는 아래와 같았습니다.
\begin{eqnarray}
\frac{C}{L_*} = \frac{39740}{3141} =12.65 \approx 4\pi
\end{eqnarray}
놀랍게도 이 값은 원주율의 4배와 매우 잘 일치하는 값입니다!
$$ L_* \approx \frac{C}{4\pi} = \frac{R}{2}$$
즉, 외계행성X의 반지름이 \(L_*\)를 결정한다는 것입니다.

[6] 도대체 어떤 물리학이 이 만유가속현상의 근원일지를 알아내는 것이 그 다음 세대 외계 물리학자들에게 던져진 질문입니다.

\begin{eqnarray}
g(h) = g_0 \left(1-\frac{2h}{R}\right)
\end{eqnarray}

다양한 이론가들의 다양한 분석이 나옵니다. 일단 이 식이 그대로 맞다면 \(h\to R/2\)로 행성 반지름의 반 만큼 올라가면 이 '만유가속도'는 0이 될 것이고, 그 이상 올라가면 갑자기 척력으로 가속도의 방향이 바뀌는 일이 발생하게 됩니다. 행성 반지름의 반 높이가 되는 곳이 그 보다 살짝 위나 아래에 비해 특별한 지점이 아니라고 생각하면, 이 공식은 이상하게 보입니다.

또 실제 실험이 이루어진 높이는 \(h \ll R\)이므로 실은 더 고차항을 포함하고 있을 가능성이 있습니다. 즉,

\begin{eqnarray}
\frac{g(h)}{g_0}
&=& 1 +C_1 \frac{h}{R} + C_2 \left(\frac{h}{R}\right)^2 + C_3 \left(\frac{h}{R}\right)^3 +\cdots \\
&=& 1-2 \frac{h}{R} + C_2 \left(\frac{h}{R}\right)^2 + C_3 \left(\frac{h}{R}\right)^3 +\cdots
\end{eqnarray}
여기서 \(C_2, C_3, C_4, \cdots \)는 크기가 정해지지 않은 새로운 파라메터 입니다. 이 값들을 측정해내기 위해서 (0이 아닌지 알아내기 위해서) 보다 정밀한 실험이 요구됩니다. 물론 \(C_1 = -2\) 입니다. 이 처럼 우리가 다루고 있는 물리계에서 우리의 무지를 허용되는 파라메터 표현으로 나타내는 시도는 매우 강력한 방법론을 제공해줍니다. 소위 유효장론(effective field theory)라고 불리는 이 방법론에 따르면 자연의 대칭성이 허용하는 모든 항이 나타날 수 있으며 그 파라메터는 보다 근원적인 물리학에 의해 결정되며, 실험을 통해 측정될 수 있습니다.

[7] 만약 이론물리학 보다 실험 물리학이 더 빨리 발전하여 다음 값들을 측정했다고 가정해봅시다.

\begin{eqnarray}
C_1&=&-2, \\
C_2&=&3, \\
C_3&=&-4, \\
&\vdots&, \\
C_n&=& (-)^n(n+1)
\end{eqnarray}

이 경우 우리는 전체 차수에서 맞는 보다 단순한 식을 찾을 수 있습니다.
\begin{eqnarray}
1-2x+3x^2-4x^3 +\cdots = \frac{1}{(1+x)^2},
\end{eqnarray}
이로부터,
\begin{eqnarray}
g(h)
&=&\frac{g_0}{(1+h/R)^2}\\
&=&\frac{g_0 R^2}{(R+h)^2} \\
&=& \frac{g_0 R^2}{r^2}
\end{eqnarray}
여기서 \(r=R+h\)는 행성 중심에서 부터 물체의 거리를 나타냅니다.

여기까지 도달한 외계물리학자들은 거리의 제곱에 반비례해서 약해지는 새로운 종류의 힘이 있으며,
이 힘은 행성의 물리적 특징을 나타내는 물리량인 \(g_0\)와 \(R\)의 곱에 의해 결정된다는 결론을 내립니다.

[8] 지구의 물리학자들은 이 값이 지구의 질량이라는 것을 알고 있으며, 단위계를 맞추어주는 상수 \(G\)를 도입하여 다음처럼 나타냅니다.
\begin{eqnarray}
g_0 R^2 = G M, \\
\end{eqnarray}
그리고 '만유가속도'의 근원이 되는 힘을 '만유인력' 혹은 중력이라고 부릅니다. 그리고 이렇게 정해진 질량값 \( M = g_0 R^2/G\)를 행성의 중력질량이라고 불러서, 관성의 크기와 구분하여 말합니다.

지구의 경우,
\begin{eqnarray}
g_0\approx \frac{GM_{지구}}{R_{지구}^2} \approx 9.8 {\rm m/s^2}
\end{eqnarray}
이 나옵니다. 여기서 \(M_{지구}=5.9736 \times 10^{24}~{\rm kg}\), \(R_{지구} =6. 378\times 10^6 ~{\rm m}\), \(G = 6.674\times 10^{-11} {\rm m^3/kg/sec^2}\)를 대입했습니다.



//이하는 본 문을 이해하는데 도움이 될 수 도 있습니다.. //


[a] 중고등학교에서 지표면의 물체는 중력을 받으며 그 크기는 다음과 같이 주어진다는 것을 배웁니다.

\begin{eqnarray}
|F_g| = m g ~~~(*)
\end{eqnarray}
그리고 중력의 방향은 '아래 방향'이고, 따라서 책상 위에서 뛰어 '내릴'수 있게됩니다. 중력의 크기는 질량만 주어지면 위치과 관계 없이 (거의) 일정하다고 이 식은 말해 줍니다. 그리고 뉴턴의 힘의 법칙 (\(F=ma\)를 기억하는 사람이라면 누구나 \(a=g\)가 되어, 질량과 관계 없이 물체들이 모두 같은 가속도로 낙하한다는 것을 알게 됩니다. 공기 저항만 없으면, 깃털과 덤벨은 정확히 같은 가속도로 '자유낙하'합니다. 물론 공기 저항 때문에 실생활에서는 덤벨이 늘 이깁니다.

중력 때문에 물체를 끌어올리면 낙하 할 수 있는 '포텐셜'을 가지며, 그 포텐셜 에너지는 높이에 비례 하다는 것도 배웁니다.
\begin{eqnarray}
V_g = m g h,
\end{eqnarray}
여기서 \(m\)은 물체의 질량, \(g\)는 중력 가속도, \(h\)는 끌어올린 높이를 나타냅니다.

\(m\)은 좀 더 엄밀하게 말해서 중력의 세기를 결정짓는 '중력 질량(gravitational mass)'으로 볼 수 있는데요, 아인슈타인의 '등가 원리 (equivalence principle)'로 불리 듯, 물체의 관성의 크기를 나타내는 소위 '관성 질량(inertial mass)'과 정확히 같은 양입니다. 중력의 대단히 흥미로운 성질입니다.
(왜 전하량은 관성의 크기를 결정짓지 않았을지 생각해보면, 중력질량 = 관성질량 이라는 등가 원리가 대단히 이상한 자연의 성질이라는 것을 쉽게 이해할 수 있을 것입니다.) 질량의 차원을 \(M\)으로 쓰고, \([m]=M\)으로 표기합니다. 질량차원을 가진 물리량은 \({\rm kg}\) 단위로 측정할 수 있습니다.

\(g \approx 9.8 {\rm m/s^2}\)은 지표 근처에서 물체의 낙하 운동을 측정하여 얻은 값입니다. 매우 정밀한 실험을 하면 이 값이 지표 어디에서가 같지는 않고 지하의 물질 분포나 고도의 영향을 받는다는 사실을 알게 됩니다. 이 사실을 이용하여 지하 광물이나 유전을 탐색하는데도 쓰일 수 있습니다. 가속도는 속도의 시간에 대한 변화를 나타내므로, 길이에 비례하고 시간의 제곱에 반비례한 \(L T^{-2}\) 차원을 가지는 물리량입니다. \([g] = L T^{-2}\)로 표시합니다. 길이와 시간은 각각 미터와 초 (\({\rm m, s}\)) 단위로 측정할 수 있으므로, 중력가속도는 \({\rm m/s^2}\) 단위로 측정할 수 있습니다.


\(h\)는 우리가 정한 기준점에서 얼마나 끌어 올렸는지로 기준점은 말 그대로 중력 포텐셜 에너지의 기준이 되는 높이를 말합니다. 기준점에서의 차이만 물리적 의미를 가진다고 흔히 말을 합니다. 이는 근사적으로 옳은 말입니다. (진공이 가지는 에너지가 우주의 공간 팽창에 영향을 주기 때문에 엄밀하게 말하면 기준점을 임의로 정할 수 없습니다만, 우리가 관심을 가지는, 예를 들어, 사과의 낙하 운동을 분석하는데는 이 효과는 중요하지 않습니다.) 높이는 길이의 차원 (\(L\))을 가지는 물리량입니다. \([h] = L\)로 표시하고, 미터 (\({\rm m }\)) 단위로 측정할 수 있습니다.


중력 포텐셜 에너지는 결국 질량, 중력가속도, 높이를 곱한 차원을 가지고 있습니다.
\begin{eqnarray}
[V_g] = [ m g h] = M L^2 T^{-2}
\end{eqnarray}
따라서 \({\rm kg \cdot m^2/s^2}\) 단위로 측정할 수 있습니다. 여기서 \( L/T\)의 차원은 속도의 차원과 같으므로 결국 에너지의 차원이
\([에너지] = [질량] \times [속도]^2\)와 같음을 확인할 수 있습니다. 아인슈타인의 에너지-질량 등가원리를 빛의 속도의 제곱을 비례상수로 삼아 \(E=mc^2\)로 나타낼 수 있는데 차원적으로 옳은 식임을 쉽게 확인할 수 있습니다.


[b] 우리는 중력가속도의 근원을 지구 전체가 만들어낸 중력에서 찾을 수 있습니다.

지구 중심에서 거리 \(r\)에 있는 질량 \(m\)인 물체가 지구 중심방향으로 당겨지는 힘은 지구의 전체 질량으로 부터 결정된 만유인력 법칙으로 다음 처럼 주어집니다.
\begin{eqnarray}
|F_g| = \frac{G m M_{지구}}{r^2} ~~~(**)
\end{eqnarray}

즉, 지구중심에서 멀어질수록 중력의 세기는 거리의 제곱에 반비례해서 약해집니다. 즉, 지표에서 높게 올라가면 점점 중력이 약해진다는 말이되는 군요.

그런데 (*), (**)가 어떻게 동시에 맞을 수 있을까요? 실은 (*)은 높이 차이가 크지 않을 때 (**)의 근사로 이해할 수 있습니다. 지표면과 지구중심까지의 거리를 \(r_0\)로 나타내겠습니다. 바로 지구 반지름을 나타냅니다. 대략 6400킬로미터 정도로 알려져 있습니다. 그리고 지표면에서 물체의 높이를 \(h\)로 표시하면, 결국 물체와 지구중심간의 거리는 \(r = r_0 +h\)로 나타낼 수 있습니다. (예를 들어 \(r \approx 6400 {\rm km} + 10 {\rm m}\) 이런 식이 되겠습니다.) 따라서, 만유인력은 아래와 같습니다.
\begin{eqnarray}
|F_g] &=& \frac{G m M_{지구}}{(r_0 + h)^2} \equiv \frac{Gm M_{지구}}{r_0^2} F(h/r_0),\\
F(h/r_0) &=& \left(1+h/r_0\right)^{-2}
\end{eqnarray}
여기서 \(\frac{Gm M_{지구}}{r_0^2}\)는 지구 표면에서의 중력의 세기를 나타냅니다. \(F\)는 높이에 따른 중력의 세기에 따른 '수정치'를 표현하기 위해 도입한 함수로 해석할 수 있습니다.

이를 이용하면 지표에서 높이 \(h\)에서의 중력가속도를 다음 처럼 구할 수 있습니다.
\begin{eqnarray}
g(h) = \frac{GM_{지구}}{r_0^2} \left( 1- 2\frac{h}{r_0} +\cdots\right)
\end{eqnarray}
여기서 \(F(x\ll 1) \approx 1-2x \)을 이용하였습니다.
왠만큼 높이 올라가지 않으면 지구반지름에 비해 무시할 수 있을 것이므로 괄호안의 두번째 항을 무시하면,,
\begin{eqnarray}
g\approx \frac{GM_{지구}}{r_0^2}
\end{eqnarray}
이 나옵니다. 여기서 \(M_{지구}=5.9736 \times 10^{24}~{\rm kg}\), \(r_0 =6. 378\times 10^6 ~{\rm m}\), \(G = 6.674\times 10^{-11} {\rm m^3/kg/sec^2}\)를 대입하면, 익숙한 결론 \(g\approx 9.8 {\rm m/s^2}\)를 얻을 수 있습니다!


높이 \(h\)에서 중력포텐셜도 근사적으로 아래와 같이 구할 수 있습니다.
\begin{eqnarray}
V_g
&=& -\frac{GmM_{지구}}{(r_0+h)} = -\frac{GmM}{r_0} K(h/r_0),\\
&\approx & m g h + constant
\end{eqnarray}
여기서 \(K(x\ll 1) = (1+x)^{-1} \approx 1 -x,~~~ g\approx \frac{GM_{지구}}{r_0^2}\)를 이용하였습니다.


[c] 실은 이번 글을 쓰는 이유는 [a]에서 설명한 것과 같은 '유효한 기술 (effective description)'에 대해 상위의 이해 [b]가 있으며, 일반적으로 물리학의 발전이 유효한 기술에 멈추지 않고 보다 근원적인 설명을 찾는 방향으로 이루어진다는 것을 말씀드리고 싶어서 입니다.

지구 중력장에 대한 지식이 부족한 시절에 (*)식을 경험으로 부터 얻은 다음 이를 '중력의 기본 법칙' 따위로 생각할 수 있습니다. 하지만 그 근원에 대해 깊이 생각하고, 높이에 따른 중력가속도의 엄밀한 변화를 측정할 수 있게 되면 중력가속도가 높이에 따라 거의 선형적인 방식으로 줄어들게 된다는 것을 알 수 있을 것이며 이를 아래와 같이 표현할 수 있을 것입니다.
\begin{eqnarray}
g(h) \approx g(0) \left(1-\frac{h}{L^*}\right),
\end{eqnarray}
여기서 \(L^*\)는 길이의 차원을 가지는 물리량으로 우리의 근사식이 적용될 수 있는 한계에 대해 말해주는 일종의 cut-off 길이 스케일로 볼 수 있습니다.

물리학의 발전은 이러한 유효한 기술이 거리 제곱의 역수에 비례한 힘이라는 보다 근원적인 설명에 도달할 수 있게 해줄 것입니다. 비록 이론적으로 가능한 형태에 대한 제한을 생각해 낼 수 있지만, 결국 실험을 통해 옳은 물리학 법칙을 결정할 수 밖에 없다는 것이 포인트입니다. 그래서 물리학자들은 실험과 이론의 협업을 대단히 중요하다고 여기는 것입니다.




덧글

  • 漁夫 2017/04/03 23:48 #

    이런 식으로 생각해 본 적은 거의 없습니다(있었다 해도 의식하지 못했습니다). 감사합니다 (_ _)
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Physics

\begin{eqnarray} \hbar c =197.3 \text{MeV fm}\\ (\hbar c)^2=0.389 \rm{GeV}^2 \rm{mb}\\ 1.0{\rm pb}=\frac{2.568\times 10^{-3}}{\rm TeV^2}\\ =10^{-40} {\rm m}^2 \end{eqnarray}

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