라플라스 연산자 물리 이야기

공간상의 물리량 분포를 뜻하는 마당(장, field)의 변화를 보기 위해서 몇가지 미분 연산자(differential operator)가 특별히 유용합니다. 이과계열 학부생들은 1-2학년 때 이 미분연산자들을 이용해서 계산하는 법을 익히고, 그 물리적, 수학적 의미를 배우는데 상당한 시간을 쏟아야합니다.

오늘은 라플라스 연산자 (Laplacian operator)에 대해 말씀드리고 싶습니다. '라플라스'는 그 유명한 피에르-시몽 라플라스(1749-1827)가 맞습니다. 18세기-19세기 초반에 걸쳐 활동한 사람들의 초상화는 비슷한 면이 있는데 라플라스의 초상화도 비슷하네요. 왼쪽이 라플라스, 오른쪽이 아래에 나올 달랑베르입니다. (출처 위키피디아)




3차원 공간에 어떤 물리량의 분포를 나타내는 스칼라장 \(\phi(\vec{x})\)가 있다고 가정합니다. 이 스칼라장의 '평균값'은 내가 관심있는 공간에서의 적분량을 부피로 나눈 값으로 정의할 수 있습니다. 예를 들어 평균밀도를 생각해보면, 적분량인 질량을 부피로 나눈값이 됩니다.

\begin{eqnarray}
\bar{\phi} \equiv \frac{\int_V d^3 x ~\phi(\vec{x})}{V}
\end{eqnarray}

여기서 적분은 내가 관심이 있는 공간 (\(V\))에서 이루어집니다. 편의상 이 공간을 정육면체로 둘러쌓인 공간으로 잡아보겠습니다:
\begin{eqnarray}
x\in \left[ -\frac{L}{2},\frac{L}{2} \right], y\in \left[ -\frac{L}{2},\frac{L}{2} \right], z\in \left[ -\frac{L}{2},\frac{L}{2} \right].
\end{eqnarray}
이 공간의 중심은 원점 \( (x,y,z)=(0,0,0)\) 이고, 부피는 물론 \(L^3\)입니다.


원점 근방에서 스칼라장은 아래 처럼 근사할 수 있습니다.
\begin{eqnarray}
\phi(\vec{x}) = \phi(\vec{0}) + \partial_i \phi(\vec{0}) x_i + \frac{1}{2}\partial_i \partial_j \phi(\vec{0}) x_i x_j +\cdots
\end{eqnarray}
여기서 \(\partial_i =\partial/\partial x_i\) 즉, \(i\) 방향으로의 편미분입니다. 그리고 \(\cdots\)는 \( {\cal O}(x_i^3)\)이라 원점 근방에서 매우 작은 (그래서 무시할 수 있는) 수정만을 줍니다.

이제 이 스칼라장의 평균을 계산하면 아래와 같습니다.

\begin{eqnarray}
\bar{\phi}
&=& \frac{1}{L^3}\int_{-L/2}^{L/2} dx \int_{-L/2}^{L/2} dy \int_{-L/2}^{L/2} dz \left( \phi(\vec{0}) + \partial_i \phi(\vec{0}) x_i + \frac{1}{2}\partial_i \partial_j \phi(\vec{0}) x_i x_j +\cdots \right) \\
&=&\phi(\vec{0})\frac{1}{L^3}\int_V d^3 x 1 +\frac{1}{L^3} \partial_i \phi_0 \int_V d^3 x ~x_i + \frac{1}{2L^3}\partial_i\partial_j \phi_0 \int_V d^3 x ~x_i x_j +\cdots \\
&=&\phi(\vec{0}) + \partial_i\partial_j \phi_0 Q_{ij}+\cdots,
\end{eqnarray}
여기서 1의 적분인 첫째항은 부피와 같고, 두번째 항은 기함수를 대칭공간에서 적분한 것으로 0이 되며, 세번째 항에서 면적의 차원을 가지는 편리한 텐서 \(Q_{ij}\)는 아래 처럼 정의된 값이고, 쉽게 계산할 수 있습니다:
\begin{eqnarray}
Q_{ij}
&\equiv& \frac{1}{2L^3} \int_V d^3 x ~x_i x_j \\
&=&\frac{1}{2L^3} \int_{-L/2}^{L/2} dx \int_{-L/2}^{L/2} dy \int_{-L/2}^{L/2} dz~x_i x_j\\
&=& \frac{L^2}{24}\delta_{ij},
\end{eqnarray}
여기서 \(i=j\) 일때만 우함수라 적분값이 0이 아니며, 각각 \(L^5 /12\) 라는 것을 이용했습니다.

이제 원래 식으로 돌아가면, 아래와 같은 근사식을 얻게 됩니다
\begin{eqnarray}
\bar{\phi} \approx \phi_0 +\frac{L^2}{24} \nabla^2 \phi_0
\end{eqnarray}
여기서 첨자 \(0\)은 원점에서의 값을 뜻하며, Laplacian 연산자를 \(\nabla^2 =\delta_{ij}\partial_i \partial_j\)로 나타내었습니다. 정리하면,
\begin{eqnarray}
\nabla^2 \phi_0 \approx \frac{24}{L^2} \left(\bar{\phi} - \phi_0\right) \\
\propto \frac{\text{공간평균-함수값}}{\text{둘러싼 면적}}
\end{eqnarray}
으로 나타낼 수 있습니다. 결론적으로 스칼라장의 라플라시안은 평균과 그 점에서의 함수값의 차이를 재는 량으로 이해할 수 있습니다.

예를 들어 '조화함수 (harmonic function)'는 주위와 조화를 이루어 특정 점에서의 함수값 자체와 그 근방에서의 평균값이 같은 함수를 말합니다. 따라서
\begin{eqnarray}
\nabla^2 \phi =0 \,~~~\text{(harmonic function)}
\end{eqnarray}

전기장의 경우 평균과 함수값의 차이를 만들어 내는 것은 전하입니다. 이에 해당하는 물리학 방정식은 Poisson 방정식이라 불립니다:
\begin{eqnarray}
\nabla^2 \phi = -4\pi \rho(\vec{x}), \,~~~\text{(Poisson equation)}
\end{eqnarray}
여기서 \(\rho\)는 전하의 밀도분포를, \(\phi\)는 전기포텐셜을 나타냅니다. 단, 밀도가 \(\rho>0\)일 때, 주변보다 포텐셜이 높고 양의 전하에 대해 척력이 작용하게 됩니다. 여기서 전하 밀도의 차원은 \([\phi/L^2]\)이며, 전기장과 \(\vec{E} =-\nabla \phi\)의 관계가 있으며, 전기장에 의한 힘 \(F_i = q E_i\)라는 관계를 고려하면 결국
\begin{eqnarray}
[\rho] = \left[\frac{q}{L^3}\right] = \left[\frac{\phi}{L^2}\right]=\left[\frac{F}{q L}\right] \\
\therefore [q^2]=\left[FL^2\right]
\end{eqnarray}
즉, 이 단위계에서 쿨롱의 힘, 전기장은 (아무런 부차적인 상수없이) 매우 간단하게 써집니다.
\begin{eqnarray}
\vec{F} = \frac{q^2}{r^2}\hat{r}, \,\, \vec{E} =\frac{q}{r^2}\hat{r} = -\nabla \phi
\end{eqnarray}
물론 마지막 식은 \(\nabla \cdot \vec{E} =4\pi \rho\), 즉 쿨롱의 법칙과 일치함을 확인할 수 있습니다.

양의 전하끼리 척력이 작용하는 전기력과 달리, 중력의 경우 양의 질량들이 인력이 작용하므로 Poisson 방정식의 부호가 반대입니다.
\begin{eqnarray}
\nabla^2 \phi_G = 4\pi G \rho(\vec{x}), ~~~\text{(Poisson eq. for Gravitational field)}
\end{eqnarray}
여기서 \(G\)는 뉴턴의 상수이며, 중력 질량 단위를 결정하는 상수입니다.
\begin{eqnarray}
[G m^2] = [FL^2] \rightarrow \vec{F}_G = -\frac{G m^2}{r^2}\hat{r}.
\end{eqnarray}


열전도 방정식은 아래 꼴을 가집니다.
\begin{eqnarray}
\nabla^2 \phi = K \frac{\partial \phi}{\partial t} ~~~\text{(heat equation)}
\end{eqnarray}
여기서 \( K>0\)은 전도도를 기술하는 상수이고, \(\phi\)는 공간에서의 온도분포를 표현합니다. 이 식은 주변보다 온도가 낮은 곳은 (i.e. \(\nabla^2 \phi >0\)) 온도가 점차 올라간다는 것을 표현하고 있군요 (\(\partial \phi/\partial t >0\) ).

[Quiz] Helmholtz의 방정식은 아래와 같습니다. 과연 어떤 물리적 의미를 갖고 있을까요?
\begin{eqnarray}
\nabla^2 \phi + k^2 \phi =0
\end{eqnarray}


끝으로, 라플라시안 연산자는 상대론적으로 자연스럽게 확장시킬수가 있습니다. 상대론에서 공간과 시간은 같은 footing으로 다루어야 하며, 이에 따라 gradient도 자연스럽게 시간과 공간의 미분으로 확장할 수가 있습니다:
\begin{eqnarray}
x^i &\to& x^\mu = (c t, x^i), \mu=0,1,2,3 \\
\partial_i &\to& \partial_\mu =(\frac{1}{c}\partial_t, \partial_i) \\
\nabla^2 =\delta^{ij} \partial_i \partial_j &\to& \square =\eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu =\frac{1}{c^2}\partial_t^2 - \nabla^2,
\end{eqnarray}
여기서 "4-차원 거리"를 정의하는 행렬을 아래 처럼 정의했습니다.
\begin{eqnarray}
\eta_{\mu\nu}=
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}.
\end{eqnarray}

Poisson 방정식의 자연스런 상대론적 확장을 달랑베르 (D'lembert) 방정식 혹은 '파동 방정식' 이라고 부릅니다.
\begin{eqnarray}
\square \phi(t, x^i) = 0 ~~~\text{(wave equation)}\\
\text{(or)}~~~\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi }{\partial t^2} -\nabla^2 \phi =0
\end{eqnarray}
여기서 \(c\) 는 전파하는 파동의 전파속도입니다. 빛의 경우 빛의 속도가 되겠습니다. 물리적 의미는 "시간에 대한 두번 미분이 평균값과의 차이와 균형을 이루면서 파동이 전파해나간다" 정도로 이해할 수 있겠습니다. 이 방정식은 질량이 없는 입자 (예를 들어 빛입자)에 대해 적용할 수 있는 상대론적으로도 옳은 방정식입니다.

Jean le Rond d'Alembert는 약간 익살이 있어 보이는데 실제론 어땠을지 모르겠습니다. 라플라스보다 한세대 정도 위이고, 일찍 세상을 떴습니다. (1717-1783) 뉴턴이 1642-1726이니 약간 겹치네요.


질량이 있는 스칼라장의 파동방정식은 질량항을 포함하여 아래 처럼 주어집니다. Kelin-Gordon 방정식이라 불립니다.
\begin{eqnarray}
(\square +m^2) \phi =0.~~~\text{(Klein-Gordon)}
\end{eqnarray}
양자역학적 운동량 연산자를 \(p_\mu = i \partial_\mu =( i\partial_t, i\partial_i \))로 주면, \(\square = -p_\mu p^\mu\)와 같고, 따라서 \( (-p^2+m^2)\phi=0\) 꼴을 하고 있군요. (단, 여기서 \( c=1=\hbar \).)


[참고로] 위 거리 규약은 4-운동량의 제곱성분이 정지질량의 제곱으로 >0이 되도록 합니다. 입자물리학자들이 좋아하는 convention입니다. time-like한 벡터의 에너지가 바른 사인을 갖도록 합니다. 중력에 보다 관심이 있는 학자들은 (-1)를 곱한 것을 거리로 쓰길 좋아합니다.


[참고로2]
위 내용은 바이런과 풀러(Byron & Fuller)의 아주 오래된 책을 많이 참고 했습니다. 혹시 구입을 원하는 분들은 링크를 참조하세요: amazon link

찾아보니 Maxwellian interpretation of Laplacian이라는 제목으로 논문이 있었습니다.
J. E. McDonald, American Journal of Physics 33, 706 (1965); doi: http://dx.doi.org/10.1119/1.1972175
http://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.1972175

[참고로3]
제가 쓴 "맥스웰 방정식과 단위계"는 다시 봐도 읽어볼 만한 글인 것 같아요. ^^
http://extrad.egloos.com/4013566

덧글

  • 수달 2017/03/28 18:00 # 답글

    .... 읽고는 있지만 뭐라고 쓴건지 1도 모르겠... (공대생이 이 모양이니...)
  • 긁적 2017/03/29 07:25 #

    괜찮습니다. 정상입니다.
  • taxonomy 2017/03/28 20:11 # 답글

    달랑베르 연산자는 볼때마다 글자 깨진것 같아서 스크롤 내리다가 흠칫흠칫하게하네요.
  • 여신같은 펭귄 2017/03/29 10:21 # 답글

    움...움~~다시 올께요~^^;;
  • 아빠늑대 2017/03/29 19:54 # 답글

    어...후... ... ;;;
  • Yuki37 2017/04/01 02:16 # 답글

    ExtraD님 오랫만에 인사드립니다!! :) 잘 지내셨죠??
    LHC에서 샀던 티셔츠에 라플라시안 연산자 쓰여있던 기억이 나네요. 잘 몰라서 그게 라플라시안이라는 것도 나중에야 알았던..^^:;
  • kipid 2017/04/23 20:56 # 삭제 답글

    평균값과 비교해서 라플라스를 물리적으로 이해하는 거였군요. 잘 읽고 갑니다.
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Physics

\begin{eqnarray} \hbar c =197.3 \text{MeV fm}\\ (\hbar c)^2=0.389 \rm{GeV}^2 \rm{mb}\\ 1.0{\rm pb}=\frac{2.568\times 10^{-3}}{\rm TeV^2}\\ =10^{-40} {\rm m}^2 \end{eqnarray}

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