뉴턴을 천재라고 생각하는 이유 물리 이야기

뉴턴 (Isaac Newton)의 프린키피아를 읽어 볼 것을 제 수업을 듣는 학생들에게 꼭 권하고 있습니다. 이유는 단순 합니다. 좋은 책이기 때문이죠. 대신 읽을 때 뉴턴의 기하학적 증명 대신 미적분학을 써서 스스로 증명하면서 읽으라고 말합니다. 제 생각엔 그게 훨씬 쉽고, 굳이 알고 있는 수학을 모르는 척 할 이유가 없다고 생각하기 때문입니다.


(Newton's apple / Credit: LadyofHats via Wikimedia Commons)


뉴턴의 역학 체계는 물리학을 하는 방법을 인류에게 가르쳐 주었다는 의미에서도 그 의미가 크다고 생각합니다. "내가 가만히 생각해 보니..."가 아니라 정밀한 반복 실험과 이를 정량적으로 분석하고 이론화하는 과정을 거쳐 수학을 언어로 물리학을 이해할 수 있다는 그 방법론을 통해 우리는 자연에 대한 깊은 이해에 도달할 수 있게 된 것이죠.

뉴턴의 역학은 수학적으로 대단히 아름다운 구조를 가지고 있습니다. 최소한의 구조로 완전히 결정적인 동역학계 (completely deterministic dynamical system)를 만들어 낸 것인데요, 충분히 음미해볼 가치가 있습니다. 바로 다음과 같은 구조로 되어 있습니다.

\begin{eqnarray}
(x(t_0), \dot{x}(t_0)) + \text{"Force law"}\to (x(t_0+\epsilon), \dot{x}(t_0+\epsilon)).
\end{eqnarray}

즉, 초기 조건(at \(t=t_0\))으로 입자의 위치와 당시의 운동량 (혹은 속도)를 알고 있으면, 매우 짧은 시간 \(\epsilon\) 만큼의 시간이 흐른 직후 \( t=t_0+\epsilon \)의 운동 상태 (위치와 속도)가 완전히 결정됩니다. (단, \(\dot{x} = d x/dt \))

일단 \(t=t_0+\epsilon\)에서의 위치는 다음 처럼 결정됩니다. 즉, 초기 조건의 정보 (위치와 속도)만으로 그 다음의 위치는 결정됩니다.
\begin{eqnarray}
x(t_0+\epsilon) = x(t_0) +\epsilon \dot{x}(t_0).
\end{eqnarray}

그런데 속도를 알기 위해서는 초기조건의 정보만으로 부족합니다.
\begin{eqnarray}
\dot{x}(t_0+\epsilon) = \dot{x}(t_0) +\epsilon \ddot{x}(t_0).
\end{eqnarray}
즉, 시간에 대한 두번 미분 혹은 가속도 \(\ddot{x}(t_0)\)를 알아야 \(t=t_0+\epsilon\)에서의 속도를 알 수 있습니다.


여기에 뉴턴의 천재가 개입합니다. 뉴턴은 가속도를 결정하는 규칙을 '운동법칙'으로 도입합니다.
\begin{eqnarray}
\ddot{x}(t_0) = \frac{F}{m}(t_0).
\end{eqnarray}
주어진 시간에서 입자에 가해지는 힘을 알면, 가속도가 결정됩니다. 입자가 갖고 있는 관성(inertia)의 크기를 결정하는 량을 \(m\)이라 쓰고, 관성 질량(mass) 혹은 그냥 질량이라고 읽습니다.

결론적으로 뉴턴이 부여한 역학계는 초기조건+운동법칙으로 완전히 결정론적인 인과구조를 완결짓게 되었습니다. 아무런 군더더기도 없으며, 필요한 모든 것이 딱 제자리에 있는 이런 구조는 이론물리학자들과 수학자들의 가슴을 두근거리게 합니다. '아름답다'라는 찬탄이 자연스레 흘러나옵니다.

뉴턴 역학의 수학적 구조는 라그랑지 역학으로 보다 우아하게 표현할 수 있습니다. 라그랑지 역학은 "작용량(action)을 최소화하는 경로를 자연은 택한다"는 소위 최소작용의 원리를 역학 법칙으로 삼습니다. 작용량은 운동상태의 함수로 정의된 라그랑지안(Lagrangian)을 시간에 대해 적분하여 얻을 수 있는 범함수(functional)입니다.

\begin{eqnarray}
S[x] = \int_{t_i}^{t_f} dt~L(x(t), \dot{x}(t)).
\end{eqnarray}

최소작용을 주는 경로 \(x\)는 '변분법'을 활용하여 \(x +\delta x\)를 택했을 때, 작용량은 \(\delta x\)-order에서 0이 된다는 것을 이용하여 구할 수 있습니다. 소위 Euler-Lagrange 방정식이 그것입니다.

\begin{eqnarray}
\delta S =0 \Rightarrow \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = \frac{\partial L}{\partial x}.
\end{eqnarray}

여기서 시간의 변화에 대한 변화를 나타내는 좌변과 이를 결정짓는 우변을 등호로 연결한 것이 뉴턴의 힘의 법칙과 같은 구조임을 쉽게 알 수 있습니다. 특히 운동량의 시간 미분이 힘이라는 관계에서 일반화된 운동량과 일반화된 힘을 다음과 같이 결정할 수 있습니다:
\begin{eqnarray}
p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}, ~~F = \frac{\partial L}{\partial x} \Rightarrow \dot{p} = F.
\end{eqnarray}

운동량이 속도와 비례하다는 관계로부터 자연스럽게 라그랑지안에 \(\dot{x}\)의 2제곱항이 포함되어 있어야합니다. 이 항을 운동항 혹은 차원을 따져서 운동에너지라고 부를 수 있습니다. 보존력의 경우 포텐셜의 위치에 대한 미분(즉 기울기 혹은 gradient)의 반대 방향으로 정의된 벡터가 힘이 되므로, (-)포텐셜 항도 포함되어야 합니다. 즉, 보존력을 가진 역학계의 라그랑지안의 형태가 다음과 같이 결정됩니다.

\begin{eqnarray}
L &=& T - V, \\
T &=& \frac{1}{2}m\dot{x}^2, V=V(x)
\end{eqnarray}
여기서 \(1/2\)이나 \(m\)은 정준운동량을 주도록 결정된 값들입니다.

여기까지 읽은 분들은 라그랑지 역학을 일반화하는 것을 생각해 볼 수 있을 것입니다.
한가지 예로 다음과 같은 경우를 생각해보겠습니다.

\begin{eqnarray}
L= L(x, \dot{x}, \ddot{x}).
\end{eqnarray}

즉, 운동상태가 위치와 속도 뿐 아니라 가속도에 의해서 결정되는 시스템입니다. 과연 이 시스템은 인과적일 수 있을까요? 이 문제는 제 역학 수업에서 숙제로 낸 적이 있습니다. 생각보다 재밌는 문제이고, 실제로 매우 중요한 문제입니다.

덧글

  • leestan 2017/03/21 02:23 # 답글

    이 시스템에선 Causality가 보장 되지 않습니다!
  • ExtraD 2017/03/21 07:49 #

    정답입니다. ^^
  • fghfgh 2017/03/30 14:18 # 삭제 답글

    너무 오랜만에 글이 올라와서 너무 반갑습니다 ㅎㅎ
  • 글좀 자주 올려주세요 2017/04/09 18:18 # 삭제 답글

    현기증나려 합니다
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Physics

\begin{eqnarray} \hbar c =197.3 \text{MeV fm}\\ (\hbar c)^2=0.389 \rm{GeV}^2 \rm{mb}\\ 1.0{\rm pb}=\frac{2.568\times 10^{-3}}{\rm TeV^2}\\ =10^{-40} {\rm m}^2 \end{eqnarray}

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