첫번째 문제인 Basel problem의 경우, 오일러가 처음 풀이를 내었는데 오일러가 명성을 얻게된 직접적인 계기가 되었다고 합니다. 위키 등에 잘 설명이 되었지만, 오일러의 최초 풀이(엄밀하게는 수학적으로 정확한 풀이는 아니라고 하지요)의 경우, 저 당시에 저 급수를 삼각함수와 연결시킨 것이 정말 대단한 거라고 하네요. 수학적으로 엄밀한 풀이는 몇년후에 오일러가 다시 발견했다 하지요. MAA Online에서 "How Euler Did it"이라는 글을 보면 오일러가 어떻게 저 답에 도달하게 되었는지에 대해 나와있습니다. 요약하자면 적분을 이용하여 저 급수의 근사값을 얻었고, 그 값이 pi^2/6일 것이라는 결론에 도달하게 됩니다. pi가 들어가니 삼각함수와 관련이 있겠다 싶어 그 쪽으로 파고든거구요. 비록 초천재 오일러 선생님이셨지만, 많은 사람들의 생각만큼 그냥 머리에 답이 확 떠오른 것은 아니라는.
덧글
snowall 2009/10/15 23:22 # 답글
푸리에 급수의 예제에서 봤던 것 같은 기억이 납니다.
snowall 2009/10/15 23:30 # 답글
http://webpages.dcu.ie/~applebyj/ms224/BT2_FSER.pdf제곱수의 교대 급수는 여기에 있는 것 같습니다. Eq. 2.1에 x=0을 대입하면 되네요...
snowall 2009/10/15 23:37 # 답글
http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat6/calc9.htm제곱수의 급수는 여기에 있네요. 예제 9.2의 5번입니다..
ExtraD 2009/10/15 23:48 # 답글
snowall,감사합니다.
푸리에 급수를 이용한 표준적인 증명은 물론 알고있습니다. 그 밖에도 두어가지 다른 방법도 알고는 있는데 뭐랄까 좀 더 직관적인 증명이 있으면 좋겠다는 생각을 하고 있습니다. 암산으로 계산 할 수 있으면 제일 좋겠어요. ;-)
세리자와 2009/10/16 01:40 # 답글
첫번째를 처음 증명한 오일러 선생은 틀림없이 암산으로 했을 거라는데 백원 겁니다. -_-;;;
아일턴 2009/10/16 08:30 #
저는 500원을 겁니다. ㅡㅡ;;
leestan 2009/10/16 05:47 # 답글
리만 제타 함수는 어떨련지요!!! 첫번째꺼 말이에요
시민민주주의 2009/10/16 09:31 # 답글
이것은 dilogarithm 함수의 -1에서의 값입니다. http://pythagoras0.springnote.com/pages/3321277
snowall 2009/10/16 10:49 # 답글
저는 노트에 여백은 많지만 다른 증명을 모르겠네요. ㅋㅋ푸리에 급수 이외의 증명은 한번 생각해 봐야겠습니다.
루이 2009/10/16 12:23 # 답글
위키에서 Basel problem을 찾으면 여러 가지 증명이 있는데, 그 첫번째 방법이 제일 간단합니다. 거의 암산도 가능한 정도. 첫번째를 알면 두번째는 고등학교 수준이고.
physicus 2009/10/18 15:54 # 답글
이미 아실 것 같긴 합니다만 Reif 통계물리 책 부록에 나오는 1/z^2/tan(pi*z)의 contour 적분을 이용한 증명도 있지요.저는 개인적으로 처음 봤을 때 기발하고 멋지다고 생각했습니다 ㅎ
고무 2009/10/19 15:06 # 답글
첫번째 문제인 Basel problem의 경우, 오일러가 처음 풀이를 내었는데 오일러가 명성을 얻게된 직접적인 계기가 되었다고 합니다. 위키 등에 잘 설명이 되었지만, 오일러의 최초 풀이(엄밀하게는 수학적으로 정확한 풀이는 아니라고 하지요)의 경우, 저 당시에 저 급수를 삼각함수와 연결시킨 것이 정말 대단한 거라고 하네요. 수학적으로 엄밀한 풀이는 몇년후에 오일러가 다시 발견했다 하지요. MAA Online에서 "How Euler Did it"이라는 글을 보면 오일러가 어떻게 저 답에 도달하게 되었는지에 대해 나와있습니다. 요약하자면 적분을 이용하여 저 급수의 근사값을 얻었고, 그 값이 pi^2/6일 것이라는 결론에 도달하게 됩니다. pi가 들어가니 삼각함수와 관련이 있겠다 싶어 그 쪽으로 파고든거구요. 비록 초천재 오일러 선생님이셨지만, 많은 사람들의 생각만큼 그냥 머리에 답이 확 떠오른 것은 아니라는.