라그랑지 포인트 L2

플랑크 위성에서 "최초의 빛"을 보내왔다는 소식을 며칠 전 전했다. 그런데 여기 재미난 물리가 하나 더 있다. 플랑크 위성을 비롯한 ESA의 스페이스 프로젝트들 (Herschel, Planck, Eddington, Gaia, the James Webb Space Telescope and Darwin...)이 2번 라그랑지 포인트 (Lagrangian Point, L2)에 자리를 잡았다는 점이다.

라그랑지는 그 유명한 18세기의 수학자겸 물리학자 Joseph Louis Lagrange.

그는 무거운 천체 S (태양!)와 그 보다는 훨씬 가벼운 천체 E (지구!)의 중력장에서 움직이는 물체 x (위성!)의 그 악명높은 3체 문제를 연구하였고 흥미로운 사실들을 알아냈다. 그 중 하나가 바로 라그랑지 포인트의 발견이다.

라그랑지 포인트는 S와 E가 만들어낸 중력과 x의 "원심력"이 상쇄되어 실질적으로 M이 중력의 영향을 받지 않는 공간상의 지점을 의미하는데 총 5개의 라그랑지 포인트가 있으며 보통 L1, L2, L3, L4, L5로 부른다. 아래 그림에서 어디 어디 인지 볼 수 있다.

(출처: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Lagrange_points.jpg *)

여기서 지구에 가까운 두 점 L1과 L2를 확인 할 수 있을 것이다. 당연히 멀리 인공위성을 멀리 쏘아보낼 필요 없는 이 두 지점이 천문학자들의 관심을 끌 수 밖에 없는데 특히 지구에 가려지는 일이 없이 늘 태양계 밖 우주를 볼 수 있는 L2가 우주 관측을 위한 최상의 점으로 생각된다. 플랑크 위성은 바른 지점을 선택한 셈이다.

L2의 위치는 고등학교 물리로 간단히 계산할 수 있다. 일단 L2는 S와 E를 잇는 연장선에 있다는 점에 주목하라. 그림에서 x의 위치가 L2.

이제 다음 두 가지 조건을 고려하라.

[1] x가 받는 총중력은 x가 뛰쳐나가려는 힘과 상쇄된다.
[2] x의 공전 주기는 E의 S에 대한 공전 주기와 같다.

그럼 일단 다음 식을 얻을 수 있을 것이다.

이제 둘을 합치면 다음 식을 얻는다.

이제 r이 R보다 매우 작다는 것을 고려해서 최종적으로 다음 이쁜 결과를 얻을 수 있다. "3^{1/3}"이 라그랑지 포인트에서 튀어나왔다.

아마 일반 물리학 중간고사 시험쯤에 나올만한 문제로 보이는데 이 문제에 라그랑지가 도전했을 당시에는 간단히 답을 알 수 있는 문제가 아니었다.

생각해보니 중고등학교 시절 이런 문제에 쉽게 흥미를 느낄 수 있었던 것이 내가 물리학을 선택하게된 최초의 이유가 아니었나 싶다. 자연이 작동하는 원리를 수학적으로 이해할 수 있다는 것이 주는 만족감은 다른 어디서도 찾기 힘들었다.

아참! 며칠 전에 새 논문이 저널(JHEP09(2009)078 )에서 출간되었다. '연구하고 논문을 쓰고 학회에서 발표를 하고 학계에서 이름을 알리는 것'이 직업이 된 것이 내 인생에서 참 다행이라고 늘 감사히 생각한다.