(관련글 첨가) 어떤 행렬: 새 논문 이야기 물리 이야기



이 논문의 핵심은 아래 행렬에 있다.



이 행렬의 행렬식은 암산으로도 구할 수 있다 (up to an unphysical phase).




**관련글 읽기**

지난번에 썼던 관련글을 요약하면 다음과 같다. 어떤 의미로 이번에 발표한 논문은 이 글들의 연장선이고 내 나름의 답을 찾은 것이라고 할 수도 있겠다.

**1부요약: 중성미자가 가벼운 이유 (1)
1. 표준입자물리학 이론에 따르면 중성미자는 질량을 갖지 못한다.
2. 그런데 실험을 해보니 중성미자는 질량을 갖고 있다.
3. 그래서 이론물리학자들은 물리학을 뜯어고쳐야만 한다는 것을 알게되었다.

**2부요약: 중성미자가 가벼운 이유 (2)
1. 중성미자의 질량을 설명하는 정확한 이론은 아직 누구도 모른다. 알면 노벨상!
2. 가장 각광받는 아이디어는 '시소 메커니즘'. 이걸 이해해보자.
3. 무거운 '오른짝' 중성미자를 도입했고 '질량 행렬'을 구했다.

**3부요약:중성미자가 가벼운 이유(3)
1. 질량행렬이 2X2인 경우 고유치를 구했다.
2. 이 경우 중성미자의 질량은 '오른짝 중성미자' 질량에 반비례 하다.
3. 따라서 매우 매우 무거운 '오른짝 중성미자'가 있다면 가벼운 중성미자를 얻게된다. 그런데...


핑백

  • 餘分D: physics and fun : 블로깅이 논문 발표에 도움이 된 이야기 2010-02-20 11:49:13 #

    ... 얼마전 논문을 쓰고 관련 내용을 포스팅 했었다. 어떤 행렬, ExtraD 그 글에 이런 덧글을 달아주신 분이 계셨다. 논문은 우리 분야에서 가장 인정받는 저널중 하나인 Physics Letters에 출간되었다. 그리고 출간된 논문의 관련 ... more

  • 餘分D: physics and fun : 중성미자와 시소메커니즘 그리고 또 2010-12-06 19:29:07 #

    ... ral)하다손 하더라도 그 값은 설명을 요하는 것으로 보인다. 이 문제를 야나기다 교수님과 풀고자 했던 논문에 대해 지난번에 이야기 한 적이 있다. 관련글: http://extrad.egloos.com/1949537 Neutrino mass from a hidden world and its phenomenological implications. Seong Chan ... more

덧글

  • aeon 2009/09/17 11:22 #

    ...
    저 한줄 요약을 부탁 드립니다. ㅠ_ㅠ
  • ExtraD 2009/09/17 18:56 #

    중성미자가 가벼운 이유가 여분차원 때문일 수 있다.
  • STGen 2009/09/17 14:52 #

    아이디어가 정말 아름답네요! 대단하십니다 ㅎㅎ
    전에 그러면 마지막으로 내셨던 문제의 답은 visible lepton number violation인가요? 아니면 hierarchy인가요?
    gravitation이 약한 이유가 distant brane에서의 propagation 때문이다.. 이 아이디어와도 결부하는 점이 있군요.
  • ExtraD 2009/09/17 18:58 #

    기본적인 아이디어는 매우 유사합니다. 하지만 중성미자 질량 행렬이 위 처럼 써지고 매우 정합적인 방법으로 가벼운 중성미자가 나온다는데 사실 저 자신도 놀랐습니다.

    전에 언급했던 문제의 답은 둘다라고 해야겠군요. 하나 덧붙이면 '실험으로 검증할 수 있다'는 것도.
  • aeon 2009/09/17 18:59 #

    한국어와 영어로 볼 수 있어 무척 기쁩니다.
  • ExtraD 2009/09/17 20:33 #

    한국어와 영어?
  • ExtraD 2009/09/17 19:15 #

    그런데 행렬식을 암산으로 구하는데 성공하신 분 안계신가요?
  • 별아저씨 2009/09/17 23:07 #

    /delta ^2 그 다음이 암산이 안되네요. 수렴성 여부도 모르겠고요.
  • bongs 2009/09/18 05:15 #

    패턴이 어떻게 진행되는지는 잘 모르겠지만 적혀있는 값들로만 보면 - delta^2 epsilon_{00} m_1^2 m_2^2 인것 같군요.
  • bongs 2009/09/19 21:15 #

    논문에 적힌 (6)번 행렬식을 보았는데요 수학적으로는 그 식에 약간 문제가 있어 보입니다. 행렬식의 값이 0이 아닌이상 부호에 따라 값이 달라지는데 위의 무한행렬에서는 그 부호를 정하기가 어렵습니다. 비슷한 예로 diagonal에만 -1이 있고 모두 0인 무한행렬의 행렬식을 말하기 어려운것이 있습니다. 논문에서는 행렬식 값이 0이 되는 상황을 고려한 것같아서 큰 문제는 아닌것 같지만 6번식의 양변에 절대값을 취하는 등의 방법으로 문제를 피해가는 것이 좋지 않을까 하는 생각이 드네요.
  • bongs 2009/09/19 23:39 #

    제가 속이 좁아서 그런지 답글을 보니 별로 기분이 좋지 않네요. 저는 논문의 행렬식 부분을 보고 이상하길래 혹시 실수를 하신 것은 아닌가 하고 (실수였다면) 도움이 될거라 생각해서 적은 것인데 의외의 답변입니다. 제가 쓴 코멘트가 "행렬식에 대해 잘 이해하실 필요가 있겠습니다" 였다면 ExtraD님의 답변이 이해가 갑니다만
  • ExtraD 2009/09/20 01:23 #

    bongs//

    어이쿠 아까 지운 덧글을 보셨군요. 기분 나쁘셨다면 죄송합니다. 부디 기분 풀어주세요.

    혹시 못보신 분들을 위해 덧글 내용을 말씀드리면 이렇습니다. (실은 표현이 마음에 안들어서 다시 덧글을 달려다가 다른 일 때문에 좀 늦어졌어요.)

    그러니까.. 그 행렬식의 sign은 실은 물리적으로 irrelevant하다. 그 이유는 페르미온의 성질 때문이다..

    ..는 내용이었습니다. 제 블로그를 찾는 입자물리학 전공자들에게 페르미온의 어떤 성질 때문이지 묻는 질문투의 덧말을 붙였는데 어쩌면 그 부분에서 속상하셨을 수 있을 것 같습니다.

    bongs님의 지적은 수학적으로 정확합니다. 그리고 논문까지 찾아 읽어주시고 코멘트해주셔서 거듭 감사드립니다. 앞으로도 종종 좋은 말씀 남겨주세요.
  • bongs 2009/09/20 18:29 #

    네 기분 풀렸습니다^^ 답글을 쓰고 보니 문제의 글이 이미 삭제되어 있길래 저도 지울까 하다가 그냥 놔두었어요. 블로그에 재미있는 글들이 많아서 종종 들르고 있습니다. 앞으로도 좋은 글들 부탁드립니다.
  • STGen 2009/09/17 19:41 #

    아... 그냥 왠지 복잡할 거 같아서 생각안했는데 정말 깔끔하군요. 아마 저 많은 델타들은 mixing을 나타내실 것 같은데, 하나도 안들어가다니 신기하네요. 입실론은 무엇을 말하는지 잘 몰라서 정확하게 해석은 못하겠지만요.
  • ExtraD 2009/09/17 20:31 #

    it is like a magic!..
  • RedPain 2009/09/17 20:13 #

    4x4 이상은 원래 행렬식을 암산으로 구할 수 없는 법입니다. (먼산)
  • ExtraD 2009/09/17 20:29 #

    무한대X무한대라도 패턴이 있으면 구할 수도 있는 법이지요. ^^
  • ExtraD 2009/09/17 20:34 #

    그나저나 determinant가 '행렬식'이라는 것을 떠올리는데 한참이 걸렸습니다.
    둘이 왠지 매치가 안되서 단어가 떠오르고도 긴가민가해서 구글링을 했지요.
  • aeon 2009/09/17 20:41 #

    저한테 저런 행렬은 Voodoo로 보여서ㅠ_ㅠ
  • 漁夫 2009/09/17 23:36 #

    선형대수를 한 지 너무나 오랜 세월이 지나서... -.-
  • cosmo 2009/09/18 02:20 #

    I got it right~! ^^;
  • ExtraD 2009/09/18 03:48 #

    I knew it. You are a qualified physicist.
    Wasn't it fun?
  • snowall 2009/09/18 17:14 #

    중성미자 질량으로 석사 논문을 썼지만...행렬식을 암산으로 구할 수가 없네요.
    노트에 적어가면서 해봐야겠습니다. -_-;
  • ExtraD 2009/09/20 02:57 #

    3X3 부분을 먼저 보시고 그 다음은 5X5, 7X7 .. 이렇게 보면 패턴이 보일거에요.
  • 별아저씨 2009/09/20 22:42 #

    무한 행렬의 행렬식은 아무렇게나(!) 계산해도 되는군요 -_-
  • ExtraD 2009/09/21 07:22 #

    행렬식의 정의가 아무렇게나 주어진 건 아니죠.
    제로가 많은 주어진 패턴 때문에 closed form으로 써질 수 있다는게 위 행렬이 흥미로운 점입니다.
  • ExtraD 2009/09/21 07:42 #

    실은 저 행렬이 geometric한 origin이 있습니다. 따라서 행렬식을 계산하지 않고도 물리적 의미를 끄집어 내는 것이 가능합니다.

    위 행렬은 페르미온 입자의 질량을 결정짓는 행렬이라 '질량 행렬'이라 부릅니다. 실제 입자의 질량은 질량행렬의 고유치로 정해지는데 논문에서 주된 관심사는 가장 작은 고유치값이었습니다. 바로 중성미자의 질량이죠.

    만약 행렬식이 정확히 0이 되면 고유치에 0인 값이 들어있다는 의미가 되기 때문에 중성미자의 질량이 0이라는 것을 말해줍니다. 그런데 행렬식이 제가 쓴 이론에서 $epsilon_{00}$에 비례하다는 것이 계산의 결과입니다.

    이것이 재밌는 점은 결국 중성미자의 질량이 $epsilon_{00}$ 값에 의해 컨트롤 된다는 의미이기 때문입니다. 실상 위 질량 행렬의 모든 다른 entry들은 모두 비슷한 order의 크기를 가지고 오직 $epsilon_{00}$만은 매우 작은 값을 가집니다. 따라서 다른 입자들에 비해 매우 작은 질량치를 가지는 중성미자의 질량패턴이 자연스레 이해가 된다는 것이 논문의 포인트입니다.

    그 이외의 내용은 이 이론을 실험으로 테스트 하는 방법에 대한 것이고 물리적으로는 중요하지만 아마 수학적으로는 흥미가 덜 할 것입니다.
  • ExtraD 2009/09/21 07:56 #

    http://valley.egloos.com/tag/%EC%A4%91%EC%84%B1%EB%AF%B8%EC%9E%90

    ==>관련글들인데 요게 도움이 될지 모르겠습니다.
  • 별아저씨 2009/09/22 17:13 #

    제가 할 질문을 bongs님께서 이미 해 주셨네요.
    제가 위에 적었던 "아무렇게나(!)"는 순서와 부호에 관한 것이었습니다.
  • ExtraD 2009/09/22 17:56 #

    감사합니다. 역시 수학 전공자분들께서 정확하게 짚어주시네요.
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Physics

\begin{eqnarray} \hbar c =197.3 \text{MeV fm}\\ (\hbar c)^2=0.389 \rm{GeV}^2 \rm{mb}\\ 1.0{\rm pb}=\frac{2.568\times 10^{-3}}{\rm TeV^2}\\ =10^{-40} {\rm m}^2 \end{eqnarray}

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