왜 E= M c^2 일까? 물리 이야기



아인슈타인의 유명한 이 공식은 기억력을 높여주고, 집중력을 키워준다고 주장하는 수상한 학습도움장치의 이름에 쓰일 만큼 대중에게 널리 알려져 있다.

고등학교에서 물리 교과서에도 언급된 이 공식은 소위 특수상대성 이론이라고 불리는 시공간의 물리적 성질로부터 기인한 에너지와 질량의 등가원리 (equivalence principle)를 수식으로 표현한 것인데, 특수상대성 이론을 이미 이해하고 있는 사람에게는 당연해보이는 공식이지만, 아직 특수상대성 이론을 배운 적이 없는 초심자가 접근하기 쉽지 않은 것 같다.

시라큐즈 대학교의 마크 (Mark Trodden)은 그가 학부강의에서 어떻게 이 공식을 상대성이론을 배운 적이 없는 학생들에게 소개했는지, 그리고 학생들이 어떻게 싸워나가고 (struggle!) 결국 이해하게 되었는지 그가 참여하고 있는 연합블로그 Cosmic variance의 기사에 소개하고 있다.

Why Does E=mc^2?

그가 제안한 사고실험을 따라가 보자. (자 노트를 꺼내세요!)

*준비물*

1. 마찰이 없는 바닥. (큰 아이스링크 정도면 된다.)
2. 커다란 박스. (길이가 한 20미터 정도되면 좋겠다. 사람이 들어갈 수 있는 큰 박스)
3. 대포와 대포알
4. 레이져

*실험 방법*

사고실험-1)
1. 이제 마찰이 없는 바닥 위에 박스를 놓고, 박스 속에 들어간다.
2. 박스의 한 쪽 벽에 대포를 단단히 고정시킨다.
3. 대포 발사
4. 대포알이 날아가서 반대쪽 벽에 부딪친다.


사고실험-2)
1. 실험-1에서 사용한 대포와 대포알을 꺼낸다.
2. 이제 강력한 레이져를 대포를 설치했던 곳에 단단히 고정한다.
3. 레이져 발사
4. 레이져가 반대쪽 벽에 부딪친다.

**결과 분석**

자 이제 실험-1)을 분석해 보자.

우선 박스와 실험장치는 소위 닫힌계 (closed system)로 볼 수 있고, 외력이 작용하고 있지 않기 때문에 분명히 질량중심(center of mass)은 실험내내 변하지 않는다는 것을 기억하자.

다만 처음 (대포를 발사하기 전)과 나중 (대포알이 반대편 벽에 부딪쳤을 때)의 질량 분포는 분명 달라져 있는데, 대포를 발사하면 대포알이 가져갈 운동량에 해당하는 운동량을 가지고 벽이 뒤로 물러났을 것이다.

이제 사고실험-2를 분석해 보자.

이제 날아가는 것은 대포알이 아니라 빛 알(photon)이다. 빛은 파동이고, 파동은 파도가 그렇듯 에너지와 운동량을 가지고 있다. 다만 빛은 질량이 없다.

따라서 마치 대포알을 발사했을 때와 마찬가지로, 레이져를 발사하는 순간 박스는 뒤로 물러나게 되고, 여전히 외력이 작용하고 있지 않기 때문에 "질량 중심"은 실험 내내 변하지 않을 것이다.

그렇지만 마지막 순간, 즉 레이져가 반대편 벽에 부딪치는 순간의 질량 분포는 처음과 달라 보인다. 왜냐하면 대포알의 경우와 달리 빛은 질량이 없기 때문에 실험-1)과 달리 질량 중심이 이동했을 것이기 때문이다. 여기서 좀 더 생각해보면 외력이 작용하지 않는 시스템에서 보존되는 것이 실은 "질량 중심"이 아니라 "에너지 중심 (center of energy)" 임을 알 수 있다. 빛도 에너지를 가지고 있음을 기억하자.

좀 더 잘 할 수 있다.

1. 레이져 빛이 길이 L인 박스를 가로지르는 동안 걸리는 시간은 T = L/c 이고,
2. 이동안 질량이 M 인 박스가 움직이는 거리는 x = v * T = (p/M)*(L/c) 이다.
3. 여기서 p는 레이져가 가진 운동량과 같으므로 p = E/c 이므로
4. 에너지 중심 보존식 M* x = "m" * L (여기서 "m"은 빛이 가지는 유효질량 혹은 에너지)으로 부터
5. E = "m" c^2 을 얻을 수 있다.

그다지 어렵지 않게 우리가 알고 있는 물리적 직관과 공식을 따라 질량-에너지 등가원리를 이해할 수 있다.


** 이미지: 1000with.com

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덧글

  • 다음엇지 2007/02/26 08:50 #

    잠시 몇가지 의심해 봤지만.. 바로 이해가 되네요. 탁월합니다. 재미있게 잘 읽었습니다. 즐거운 한주 되세요~
  • 사바욘의_단_울휀스 2007/02/26 09:38 #

    그렇군요.
  • ExtraD 2007/02/26 10:55 #

    물론 rigor는 없지만 직관적인 이해에는 도움이 되는 접근인 것 같습니다.
  • 호모사피엔스 2007/02/26 18:40 # 삭제

    그런데 도대체 빛은 질량이 있는건가요? 없는건가요? 질량-에너지 등가원리에 따르면 빛은 에너지를 가지고 있으니 질량이 있는것 아닌가요?

    예전에 dc과겔에서 정지질량과 운동질량(?)을 들어 이해하기 힘든 논리를 펼치는 사람도 있던데..

    질량과 에너지가 등가인 이상 둘의 구분은 무의미 하지 않나요?
  • 호모사피엔스 2007/02/26 18:44 # 삭제

    예전에 이런질문이 있었던것 같습니다.
    완전히 닫힌 계(완전히 밀봉된 박스)안에서 핵폭발이 일어나면 그 계의 무게는 줄어드는가? 안줄어드는가?

    안줄어드는 것이 당연한것 아닌지.. 제가 잘못이해했나요?
    에너지와 질량이 등가인이상 에너지도 무게가 있는것이 아닌가요?
  • 흐흥 2007/02/27 04:46 # 삭제

    그런데 빛이 운동량을 가지고 있다는 사실은 특상론에 의해 발견된건가요 아니면 이전부터 알려져있던 사실인가요? 전자라면 실험 세팅에서 이미 특상론을 가정하는거 같은데요.
  • ExtraD 2007/02/27 08:10 #

    일단 빛은 고전적으로 보아도 파동이고, 파동은 잘 알고 계시듯 운동량과 에너지를 가집니다. 물론 이 당연한 사실이 보다 명확해진 것은 특수상대론이 자리잡은 이후로 알고 있습니다만, 선행 연구가 많이 있었구요 (Poynting 벡터 기억하시죠? )

    특수상대성이론 이후로 '질량', '고유질량' 혹은 '정지질량'은 특정 좌표계 (즉, 물체의 속도 또는 운동량이 0인 좌표계)에서 4차원 운동량의 한 성분으로 이해할 수 있게 되었고, 보다 일반적으로는 3차원의 운동량과 반드시 함께 고려해야할 4차원 벡터의 한 성분으로 이해됩니다. (4차원 운동량 벡터 혹은 four-momentum의 내적이 질량의 제곱으로 정의되고, 이 양이 정확히 고유좌표계의 0-성분의 제곱과 같습니다.)

    빛의 경우 정지좌표계라는 것이 존재하지 않으며, 4-momentum의 내적이 0 입니다. (null-vector) 이는 질량이 없다는 사실과도 정합적입니다.

    아래 식을 한 번 보세요.

    E^2 = M^2 c^4 + p^2 c^2

    위식은 에너지(E), 정지질량 (혹은 그냥 질량, M) 그리고 운동량 (p) 사이의 관계식입니다.

    p=0 이면,

    E = M c^2

    을 얻게되고, 이 식이 바로 고유질량과 에너지의 등가원리를 나타내고 있습니다.
    빛의 경우에 M=0 이고,

    E = pc 혹은 p = E/c 를 얻게 됩니다. 운동량-에너지 사이의 관계식이죠.
  • 호모사피엔스 2007/02/27 17:54 # 삭제

    그사람 설명이 맞았나보군요. 제이해력을 탓해야 겟네요.
  • daewonyoon 2007/02/28 01:47 #

    대포의 기준계 (x_(에너지 중심) = vt) 에서 보면 어떻게 되는지 좀 더 풀어주세요. 헷갈리네요.
  • 시퍼렁어 2007/03/01 15:14 #

    에고고 실수 했네요 -_- 지워야 겠다. ㅎ
  • 시퍼렁어 2007/03/01 15:15 #

    머리속에 생각을 풀어내는게 이렇게 힘들다니 ;;;
  • 이학종 2007/03/02 14:06 # 삭제

    그런 방법이 있었군요. 좋은 발상입니다.
  • 꺼벙이 2007/05/15 17:16 # 삭제

    방식에 문제가 있네요. 물체는 속도가 점진적으로 증가해서 V 가 되죠. 저식이
    틀렸어요. 맞춘 느낌이 드네요.
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