상대성 이론 이야기 (3) : 상대속도 물리 이야기



상대성 이론 이야기 시리즈는 물리학을 전공하시지 않으셨지만, 상대성 이론에 대해 알고싶으신 제 블로그 독자를 위해 마련된 것입니다. 절대 어려운 이야기 안나오니까 즐겨주세요~.

요즘 이미지 캡쳐하는 방법을 배워서 유용하게 사용하고 있습니다. 위 그림은 MS 오피스 프로그램의 파워포인트 환경에서 클립아트를 이용하고, TexPoint를 활용하여 만든후, 캡쳐한 그림인데요..이쁘죠? ^^

그럼 본론으로 들어가겠습니다.

위 그림에서 우리는 두 경우를 보고 있어요. S1 의 경우는 달려오는 화살과 같은 방향으로 도망가는 자동차, S2 의 경우는 화살쪽으로 용감하게 돌진하는 사람입니다. ("화살"은 너무 약해서 맞아도 전혀 아프지 않다고 하구요.)

중고등학교 시절 S1 경우와 S2 경우에 대해 자동차와 사람이 화살의 속도를 뭐라고 할 것인지를 계산하는 것을 배우셨을 것입니다. 답은?

S1: V화살 - V자동차
S2: V화살 + V사람

맞추셨나요?

쉽죠? 화살과 같은 방향으로 가는 자동차에게 화살은 느리게, 화살 쪽으로 다가가는 사람에게 화살은 빠르게 느껴진다는 우리의 직관과도 잘 맞아떨어집니다. 이것을 "상대속도" 라고 부릅니다.

S1과 S2 경우를 하나의 수식으로 써볼까요?

상대속도라는게 속도의 "차이"에 해당하는 것이므로, 두 물체 사이에는 (-)가 들어가는게 맞습니다. 그러니까 A 라는 물체와, B라는 물체가 있을 때 A가 바라보는 B의 "상대속도"는 다음 처럼 쓰면 됩니다.

Vobs= VB-VA

그런데 속도는 '벡터' 이므로 방향을 가지고 있습니다. 그래서 화살과 같은 방향을 (+) 방향으로 잡으면, 사람의 방향은 (- ) 방향이 됩니다. 그래서 S2 식에선 가운데 (+) 사인이 들어간거죠.

그런데 그림의 아래쪽을 보시면 상대속도가 단순한 속도의 차이가 아니라(!), 1에서 속도의 곱을 빛의 속도의 제곱으로 나눈값을 뺀 값을 분모로 가지는 분수꼴임을 알 수 있습니다. 문제의 이 분모값이 상대성 이론을 고려하여 얻은 "맞는" 식입니다.

그럼 중고등학교 시절 배운 상대속도는 틀린 것일까요?

답은 네! 틀렸습니다!

사실 중고등학교 시절 배운 상대속도는 물체의 속도가 빛에 비해 매우 매우 느릴 경우에 성립하는 근사식 입니다. 예를 들어볼까요?

예를 들어 자동차의 속도가 시속 100 km, 그리고 화살의 속도는 시속 200 Km 라고 하고, 상대성 이론에 의해 들어온 분모값을 계산해 보겠습니다. 계산의 편의를 위해 '초속'으로 바꿔보겠습니다.

100 km / hr = 100, 000 m / 3,600 sec = 27. 8 m/sec
200 km / hr = 200, 000 m / 3,600 sec = 55. 6 m/sec

즉, 초당 27.8 미터와 55.6 미터를 간다는 뜻입니다. 꽤 빠르군요.

하지만, 빛은 훠~~얼씬 빠릅니다. 사실 세상에서 제일 빠른데요(!!) 그 값은 아래와 같습니다.

c = 299,792, 458 m/sec

즉, 초당 거의 30만 킬로미터를 날아가는 셈입니다.

이를 고려해서, 분모값을 계산해 보면

1 - 27.8X55.6/ 299,792,4582 = 1- 1.72X 10-14

즉, 1과 거의 차이가 나지 않는군요. 그러니까 그냥 1로 '근사'해도 그 결과는 대략 맞는 셈입니다. 물체의 속도가 빛의 속도에 비해 매우 작은 경우에는 이처럼 상대성 이론의 수정치가 매우 작습니다. 이런 경우를 "비상대론적 극한 (non-relativistic limit)" 이라고 부르고, 이 경우에는 우리가 중고등 학교 시절 배운 뉴턴의 역학이 매우 훌륭하게 제 역할을 하게되는 것입니다.

재미난 문제를 한 번 내볼까요?

문제)) 화살을 "빛" 으로 바꾸었을 경우, S1에서 자동차를 탄 사람과 S2에서 달리는 사람이 측정한 빛의 속도는 각각 얼마인가?

답은 접습니다.

[답보기]

정답))

S1: (c - v) / (1- vc/c2) = c
S2: (c + v) / (1+ vc/c2) = c

둘다 동일한 c 로군요.

즉, 달리는 관찰자의 운동과 관계없이 빛의 속도는 일정하다는 결론입니다.
다른 말로는 [광속불변의 원리]라고 하죠.

재밌으셨나요?

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덧글

  • 현재진행형 2006/07/11 01:53 #

    ....속도는 벡터가 아니었지요? (....머리가 꼬이기 시작!)
  • ExtraD 2006/07/11 01:58 #

    속력이 벡터가 아니랍니다. 속력=속도의 크기.
  • 현재진행형 2006/07/11 03:05 #

    아하하 오래된 두뇌가 티가 나는 군요. ^^::::::
  • gomnara 2006/07/11 08:19 #

    ㅋ 맞춰놓고 좋아하는-_-;;;

    상대성 이론 보면 젤 먼저 나오는게 불켜진 기차가 지나가는 그림이었는데, ExtraD님께서 직접 제작;;하신 그림은 생동감 있고 좋아요. :)
    그냥 실생활에서 상대성 이론에 대해 문득문득 느낄 때가 많잖아요. 그럼, 물리학 전공을 한 제가 괜히 뿌듯하니깐용. ㅋㅋㅋ
  • 하늘나레 2006/07/11 09:15 # 삭제

    혹 물리학 비전공자(일반대중)을 상대로 하셔서 책을 내실 생각은 없으신지요? 대박날 것 같은데요.
  • 초록불 2006/07/11 09:21 #

    오옷... 모르겠습니다....-_-;;

    (1+vc/c2)*(v-c)=(1-vc/c2)*(v+c)라는 이야기인데 이 두가지가 어떻게 값이 같죠? 아으... 기본이 없는 사람은 모르겠다는...

    오래 전에 읽은 책에서는 아인슈타인이 광속으로 나는 우주선 안에서 거울을 볼 때 사람 얼굴이 보일 것인가라는 의문을 가졌다라는 대목이 있었는데, 얼굴이 보이는지 보이지 않는지에 대한 답은 써놓지 않았습니다. 얼굴이 보이나요?
  • 아즈 2006/07/11 09:31 # 삭제

    뭔가 어릴 적에 저 계산을 '손으로' 해서 고전적 상대속도와 얼마나 차이나나 비교해봤던 기억이 나네요;
  • 초록불 2006/07/11 09:32 #

    가령 저 V가 광속에서 1 모자라는 것이라면 v+c는 대략 2c가 되고 v-c는 0에 가깝게 되지 않습니까? 그렇다면 두 개의 값이 같을 수 없는 것 아닌가요?

    너무 엄한 질문이 되는가 싶지만... 사실 문외한이란 이런 사람인 거죠... (먼산)
  • 초록불 2006/07/11 09:34 #

    라고 써놓고 계산해보니... 비슷한 값이 되는군요... (맙소사!)

    비슷한 값이 되기는 하는데, 그래도 뭔가 잘 이해는 가지 않는다는.. (에잇, 사라지자...)
  • ExtraD 2006/07/11 11:05 #

    현재진행형님, 기억을 되살려 주세요~.

    곰나라님, 전공자는 참가 금지 문제였습니다. ^^
  • ExtraD 2006/07/11 11:06 #

    하늘나레님, 한 권 사주실려구요?

    음..제 책이 나오기 전에 브라이언 그린의 [엘레강트 유니버스]와 Lisa Randall의 [Warped Passages]를 읽어주세요~.
  • ExtraD 2006/07/11 11:07 #

    아즈님, 손으로 해보는것도 나름 의미가 있는 것 같습니다. 손이랑 머리가 연결되어 있잖아요.
  • ExtraD 2006/07/11 11:09 #

    초록불님, 음..간단한데요,

    1+vc/c^2 = 1+ v/c =(c+v)/c 고요,
    1-vc/c^2 = 1-v/c =(c-v)/c 니까

    같아지는군요. 신기하죠? ^^
  • 초록불 2006/07/11 11:59 #

    (c+v)/c 하고 (c-v)/c 면 c가 10이고 v가 2인 경우

    (10+2)/10=1.2
    (10-2)/10=0.8

    아닌가요?
  • ExtraD 2006/07/11 14:04 #

    아! (정답)에서 제가 (c-v)를 (v-c)로 썼었군요. T_T
    (퇴고를 안해서..죄송합니다.)

    이제 다음 식은 쉽게 보이시겠죠?

    (c - v) / (1- vc/c^2) = (c + v) / (1+ vc/c^2)

  • 초록불 2006/07/11 14:51 #

    그렇군요. 정말 신기하군요. 그나저나 그럼 위에 고개를 끄덕이신 분들은 어찌 되신 겁니까... ㅎㅎㅎ

    사실 이런 경험이 제게 낯선 것은 아닙니다. 초창기 컴퓨터 매뉴얼을 전문가들이 작성하다보니 너무 당연하다고 생각해서 놓치고 가는 오류들이 엄청 났었거든요.
  • ExtraD 2006/07/11 14:54 #

    아..그 차이는 그냥 c냐 -c 냐의 차이만 나기 때문에 이해하고 넘어가신 모양입니다~. ^^
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Physics

\begin{eqnarray} \hbar c =197.3 \text{MeV fm}\\ (\hbar c)^2=0.389 \rm{GeV}^2 \rm{mb}\\ 1.0{\rm pb}=\frac{2.568\times 10^{-3}}{\rm TeV^2}\\ =10^{-40} {\rm m}^2 \end{eqnarray}

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