0. 어느날 아침 일어나 페르미온과 보존 사이의 대칭성이 있는 장론을 만들기로 마음 먹었다고 하자. (세상에 그런 사람이 있을 수 있을까? maybe or maybe not. 아무튼..)
1. 제일 먼저 해야할 일은 페르미온과 보존의 갯수를 맞추는 일이다. 제일 단순한 페르미온은 바일(Weyl )스피너이므로 1개의 복소수 자유도를 가진다. (만약 off-shell 조건을 부여하면 2개의 복소수 자유도를 가진다. 문제를 단순히 하기 위해 일단 on-shell에서만 생각하기로 하자.) 제일 간단한 1개 복소수 자유도를 가지는 보존은 complex 스칼라이므로 1개의 바일 스피너와 1개의 복소 스칼라면 자유도를 맞출 수 있다.
가장 단순한 초대칭 계의 재료= 1 Weyl spinor + 1 complex scalar (on shell)
2. 이 둘을 조합하여 쓸 수 있는 가장 일반적인 재규격화 가능한 라그랑지안을 써보자. (dimension 4까지 쓰란 말)
여기엔 스칼라와 바일 스피너의 운동항, 각각의 질량항과 스칼라의 4-셀프인터액션항, 그리고 유카와항이 써질 것이다.
Lagrangian = k(스칼라, 스피너)+mass(스칼라, 스피너)+ 스칼라 셀프인터액션 + 유카와
물론 위 라그랑지안에서 스칼라와 스피너는 일반적으로 다른 질량을 가질 수 있다.
3. 이제 스칼라와 스피너의 질량이 같고, 스칼라 셀프인터액션의 결합세기가 유카와 인터액션의 결합세기와 같다고 하자. 바로 이 이론이 "Wess-Zumino" 이론으로 인류가 최초로 만들어낸 초대칭 이론이었다. 아주 쉽다!
**보충**
0. 본문은 A. Zee [Quantum Field Theory in a nutshell]에서 부분 발췌하고 내용을 좀 가감하여 작성된 초대칭 입문입니다. 양자장론을 배웠으나 초대칭성은 모르는 사람에게 도움이 될 것 같아요.
1.초대칭은 보존 <-> 페르미온의 대칭이므로 변환은 반드시 스피너공간에서 정의되어야 한다. 이 변환 generator를 보통 Q라고 쓰고, supercharge라고 읽는다.
2. Off-shell 이론을 만들기 위해서 가장 간단한 방법은 supercharge가 span하는 Grossmann변수가 좌표를 결정하는 superspace를 정의하고 superfield를 도입하여 쓰는 것이다. 이걸 하기 위해 dotted, undotted notation를 배워야 하는 등 좀 훈련이 필요하다. 암튼 수퍼차지가 1개인 경우는 Salam과 Strathdee 등에 의해 충분히 연구되었다.
3. 자연계에 존재하는 기본입자의 경우 가장 큰 스핀을 가진 입자는 중력자이고 스핀은 플랑크 유닛으로 2이다. 그런데 Q는 스핀을 1/2만큼 내려주는 역할을 하므로, 2->3/2->1->1/2->0->-1/2->-3/2->-2 총 8개 까지 수퍼차지를 확장시킬 수 있다. 수퍼차지의 개수를 N으로 표시하므로 N=8 초대칭 이론이 최대 초대칭 이론인 셈이다. 만약 양-밀즈 이론에 한정지으면 N=4 가 최대가 되고, 이 이론은 완전히 finite한 것으로 알려져 있다. 그런데 사실 놀랄만한 일도 아닌게, N이 크면 클수록 더욱 대칭적이고 더욱 한정된 클라스의 이론만 살아남기 때문에 더 정확한 계산이 가능할 것이란 것은 당연한 것이다.
4. 초대칭을 정의할 수 있는 최대 시공간 차원은 11차원이다. 즉 11차원 초중력 이론이 바로 우리가 생각할 수 있는 최대 초대칭 이론이다. 재미나게도 바로 이 초중력 이론을 낮은 에너지 유효이론으로 가지는 이론이 M-이론 이라는 것이다. 빙빙 돌아 왔지만 결국 초끈이론에서 초중력 이론이 재발견되었다고 할까?
5. 5차원에서 최소 초대칭 이론은 4차원 입장에서 보았을 때 N=2 가 된다. 왜냐하면 5차원 최소 스피너는 바일이 아니라 디락 스피너이기 때문에 자유도가 두배다. 간단한 S_1/Z_2 오비폴드를 통해서 우리는 N=1 이론을 얻을 수 있고, 다시 Z_2 projection을 하면 간단히 N=0 표준모형까지 올 수 있다. 이쪽 라인의 연구가 최근 2-3년 간 아주 활발했고 개인적으로 아주 좋아하는 연구 방향이다. 어쨌든 기하학적으로 우리 우주가 설명된다는 건 신나는 일이니까!
6. 내가 생각하는 초대칭 장이론의 가장 큰 특징은 '0점 에너지'를 정확히 결정시켜 준다는 것이다. 초대칭이 정확할 경우 우주 상수가 정확히 0 이 된다는 것과 같은 얘기다. 흔히 포텐셜 에너지는 상수 만큼 이동 시켜 주어도 물리가 변하지 않는다고 생각하지만 중력을 턴 온 하는 순간 이 얘기는 전혀 성립하지 않는다. 왜냐하면 중력이 바로 이 에너지에 의해서도 생겨나기 때문이다. 그런데 초대칭이 있을 경우에 이 '원점'을 결정시켜 줄 수 있다. 아쉽게 초대칭이 정확하지 않는다는 것이 확실하지만.
1. 제일 먼저 해야할 일은 페르미온과 보존의 갯수를 맞추는 일이다. 제일 단순한 페르미온은 바일(Weyl )스피너이므로 1개의 복소수 자유도를 가진다. (만약 off-shell 조건을 부여하면 2개의 복소수 자유도를 가진다. 문제를 단순히 하기 위해 일단 on-shell에서만 생각하기로 하자.) 제일 간단한 1개 복소수 자유도를 가지는 보존은 complex 스칼라이므로 1개의 바일 스피너와 1개의 복소 스칼라면 자유도를 맞출 수 있다.
가장 단순한 초대칭 계의 재료= 1 Weyl spinor + 1 complex scalar (on shell)
2. 이 둘을 조합하여 쓸 수 있는 가장 일반적인 재규격화 가능한 라그랑지안을 써보자. (dimension 4까지 쓰란 말)
여기엔 스칼라와 바일 스피너의 운동항, 각각의 질량항과 스칼라의 4-셀프인터액션항, 그리고 유카와항이 써질 것이다.
Lagrangian = k(스칼라, 스피너)+mass(스칼라, 스피너)+ 스칼라 셀프인터액션 + 유카와
물론 위 라그랑지안에서 스칼라와 스피너는 일반적으로 다른 질량을 가질 수 있다.
3. 이제 스칼라와 스피너의 질량이 같고, 스칼라 셀프인터액션의 결합세기가 유카와 인터액션의 결합세기와 같다고 하자. 바로 이 이론이 "Wess-Zumino" 이론으로 인류가 최초로 만들어낸 초대칭 이론이었다. 아주 쉽다!
**보충**
0. 본문은 A. Zee [Quantum Field Theory in a nutshell]에서 부분 발췌하고 내용을 좀 가감하여 작성된 초대칭 입문입니다. 양자장론을 배웠으나 초대칭성은 모르는 사람에게 도움이 될 것 같아요.
1.초대칭은 보존 <-> 페르미온의 대칭이므로 변환은 반드시 스피너공간에서 정의되어야 한다. 이 변환 generator를 보통 Q라고 쓰고, supercharge라고 읽는다.
2. Off-shell 이론을 만들기 위해서 가장 간단한 방법은 supercharge가 span하는 Grossmann변수가 좌표를 결정하는 superspace를 정의하고 superfield를 도입하여 쓰는 것이다. 이걸 하기 위해 dotted, undotted notation를 배워야 하는 등 좀 훈련이 필요하다. 암튼 수퍼차지가 1개인 경우는 Salam과 Strathdee 등에 의해 충분히 연구되었다.
3. 자연계에 존재하는 기본입자의 경우 가장 큰 스핀을 가진 입자는 중력자이고 스핀은 플랑크 유닛으로 2이다. 그런데 Q는 스핀을 1/2만큼 내려주는 역할을 하므로, 2->3/2->1->1/2->0->-1/2->-3/2->-2 총 8개 까지 수퍼차지를 확장시킬 수 있다. 수퍼차지의 개수를 N으로 표시하므로 N=8 초대칭 이론이 최대 초대칭 이론인 셈이다. 만약 양-밀즈 이론에 한정지으면 N=4 가 최대가 되고, 이 이론은 완전히 finite한 것으로 알려져 있다. 그런데 사실 놀랄만한 일도 아닌게, N이 크면 클수록 더욱 대칭적이고 더욱 한정된 클라스의 이론만 살아남기 때문에 더 정확한 계산이 가능할 것이란 것은 당연한 것이다.
4. 초대칭을 정의할 수 있는 최대 시공간 차원은 11차원이다. 즉 11차원 초중력 이론이 바로 우리가 생각할 수 있는 최대 초대칭 이론이다. 재미나게도 바로 이 초중력 이론을 낮은 에너지 유효이론으로 가지는 이론이 M-이론 이라는 것이다. 빙빙 돌아 왔지만 결국 초끈이론에서 초중력 이론이 재발견되었다고 할까?
5. 5차원에서 최소 초대칭 이론은 4차원 입장에서 보았을 때 N=2 가 된다. 왜냐하면 5차원 최소 스피너는 바일이 아니라 디락 스피너이기 때문에 자유도가 두배다. 간단한 S_1/Z_2 오비폴드를 통해서 우리는 N=1 이론을 얻을 수 있고, 다시 Z_2 projection을 하면 간단히 N=0 표준모형까지 올 수 있다. 이쪽 라인의 연구가 최근 2-3년 간 아주 활발했고 개인적으로 아주 좋아하는 연구 방향이다. 어쨌든 기하학적으로 우리 우주가 설명된다는 건 신나는 일이니까!
6. 내가 생각하는 초대칭 장이론의 가장 큰 특징은 '0점 에너지'를 정확히 결정시켜 준다는 것이다. 초대칭이 정확할 경우 우주 상수가 정확히 0 이 된다는 것과 같은 얘기다. 흔히 포텐셜 에너지는 상수 만큼 이동 시켜 주어도 물리가 변하지 않는다고 생각하지만 중력을 턴 온 하는 순간 이 얘기는 전혀 성립하지 않는다. 왜냐하면 중력이 바로 이 에너지에 의해서도 생겨나기 때문이다. 그런데 초대칭이 있을 경우에 이 '원점'을 결정시켜 줄 수 있다. 아쉽게 초대칭이 정확하지 않는다는 것이 확실하지만.
덧글
2005/10/10 14:00 # 답글 
비공개 덧글입니다.
jaewon 2005/11/28 00:10 # 삭제 답글
재밌으면서도 쉽게 이해가 되네요. ^^ 나중에 초대칭을 제대로 공부하게 되면 다시 또 읽어봐야겠어요. 근데 off-shell이론은 무엇을 뜻하는 건가요? on shell이 아니어도 되는건지?
ExtraD 2005/11/28 00:29 # 답글
re jaewon: 재밌게 공부하는게 좋잖아요~. ^^A. Zee의 장론책이 그런 의미에서 꽤 괜찮습니다. 한 10번 봐서 외워버리면 나중에 꽤 도움이 될 것 같은데, 한 번 도전해 보시면 어떨까요?