사실 metric만을 놓고 생각해 보면 4차원과 5차원은 매우 단순한 확장이다. 4*4 행렬을 5*5 행렬로 바꿔준 것에 불과하니까. 그런데 아주 재미난 차이가 Fermion 즉 spinor representation에 있다. 4차원은 Chiral한 반면, 5차원은 Vectorlike 하다. 즉, 4차원은 left-hanedness spinor와 right-handedness spinor가 완전히 독립된 개체로 존재할 수 있는 반면 5차원은 아니다. Lorentz group의 minimal irreducible representation이 4차원에선 Weyl spinor인 반면 5차원에선 Dirac spinor 인 것이다.
이는 실제 물리학에서도 중요한 문제로 나타난다. 우주의 물질을 이루는 기본 building block인 쿼크와 렙톤은 실제로 left-chiral 파트와 right-chiral 파트가 전혀 다른 상호작용 패턴을 가지고 있음이 밝혀진 것이다. 전자기학만을 다루는 낮은 에너지 물리학에서 weak interaction의 효과가 매우 작기 때문에 이러한 매우 근본적인 차이를 인지하지 못하지만 실제로 우리 우주에 물질과 반물질이 서로 완전히 소멸해 버리지 않고 우리가 존재할 수 있는 근본이유가 이 속에 포함되어 있다.
4차원 물리학을 5차원에 embedding 시키는 작업에서 페르미온을 5차원 스피너로 확장시키는 작업이 필요하다. 이 경우 우리는 필연적으로 chirality를 잃어버리게 된다. 이를 해결하는 가장 간단한 방법은 5차원 공간을 singular하게 만들어 버리는 것이다. 이 경우 singularity 근처에서 Chirality를 부여하도록하는 조건을 부여하여 일종의 Chirality Projection를 시도하는 것이다. Orbifold는 매우 좋은 예가 되며 내가 즐겨사용하는 도구 이기도 하다.
Orbifold를 이용하여 확장된 대칭성을 관측된 대칭성만큼으로 낮춰주는 방법은 기존의 힉스를 이용하는 방법 이상으로 매력적인 면이 있다. 기하학이 우리 우주를 결정짓는다는 생각만큼 우아한게 어딨겠나? ..Right? Plato!
Quiros의 TASI2002에서의 강의록이 읽을만한 리뷰다. =>Click!
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4차원 물리학을 5차원에 embedding 시키는 작업에서 페르미온을 5차원 스피너로 확장시키는 작업이 필요하다. 이 경우 우리는 필연적으로 chirality를 잃어버리게 된다. 이를 해결하는 가장 간단한 방법은 5차원 공간을 singular하게 만들어 버리는 것이다. 이 경우 singularity 근처에서 Chirality를 부여하도록하는 조건을 부여하여 일종의 Chirality Projection를 시도하는 것이다. Orbifold는 매우 좋은 예가 되며 내가 즐겨사용하는 도구 이기도 하다.
Orbifold를 이용하여 확장된 대칭성을 관측된 대칭성만큼으로 낮춰주는 방법은 기존의 힉스를 이용하는 방법 이상으로 매력적인 면이 있다. 기하학이 우리 우주를 결정짓는다는 생각만큼 우아한게 어딨겠나? ..Right? Plato!
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덧글
초록불 2005/10/03 09:23 # 답글
문외한이 질문을 드리자면...4차원은 3차원에 시간의 축을 더한 것이다라고 알고 있는데, 5차원은 그러면 뭘 또 더한 건가요? (아니면 이런 말과는 전혀 관계없는 다른 이야긴건가요?)
ExtraD 2005/10/03 10:20 # 답글
공간 축을 하나 더 더한 것입니다. 공간축의 갯수는 움직일 수 있는 방향의 갯수를 말하는데요, 만약 또 하나의 공간방향이 더 존재하더라도 그 방향으로의 공간이 매우 작다면 매우 찾아 내기 힘들것입니다. 현대 물리학 특히 초끈 이론에서는 이렇게 매우 작은 공간방향이 7개 더 있을 것으로 예측하고 있습니다.
ExtraD 2005/10/03 10:23 # 답글
일상적으로 우리가 경험하는 방향이 세방향 밖에 없기 때문에 이런한 여분의 차원(제 아이디 ExtraD는 실은 Extra Dimensions에서 따온 것입니다.)을 상상하기 힘든데요, 수학을 언어로 하여 공간 차원을 확장합니다.
초록불 2005/10/05 08:12 # 답글
4차원도 공간축을 하나 더 더한 것입니까? 아니면 제가 위에 쓴 것처럼 4차원은 시간축을 더 한 것인가요?
ExtraD 2005/10/05 08:40 # 답글
보통 말하는 4차원 시공간(spacetime)은 우리가 별개의 것으로 생각하고 있는 시간과 공간이 실은 별개의 것이 아니라 물리적으로 매우 밀접하게 연관되어 있음을 표현하기 위해 민코브스키라는 수학자가 처음 도입한 개념입니다. 물론 아인슈타인의 상대성이론에서 그 아이디어를 얻어서죠. 4차원은 시간+공간3차원 입니다만, 여기서 '더하기'가 단지 하나를 더 도입한다는 개념과는 좀 다릅니다. 제가 위에서 말씀드린 여분의 차원의 경우도 실은 단순히 '공간 한 차원을 더한다'라기 보다는 '시공간의 한 차원을 늘인다'로 표현하는게 더 정확합니다.
ExtraD 2005/10/05 08:51 # 답글
사실 시간과 공간은 관찰자에 따라 다르게 측정될 수 있는 값입니다. (시적인 의미가 아니라 물리적으로!) 예를 들어 A라는 사건과 B라는 사건이 있을 때 A와 B사이의 시간적 차이와 공간적 거리는 관찰자의 운동상태에 따라 전혀 다르게 보일 수 있습니다. 실제로 상대적으로 운동하고 있는 물체의 시간이 느리게 가는 걸로 관측되는데요, 예를 들어 뮤-입자라는 녀석은 원래 아주 짧은 시간에 붕되하는 녀석인데도 매우 빠르게 달리고 있을 때는 제 수명의 몇 배~수십 배 까지 오래 살고 있는 현상등도 발생합니다. 물론 실험적으로 관측되었구요.
초록불 2005/10/05 09:25 # 답글
고맙습니다. 물리학 책들을 읽다보면 아주 기초적인 질문이라고 생각하는 것들을 설명하지 않는다는 생각이 들 때가 있는데, 종종 질문을 드려도 괜찮을까 모르겠습니다. (에에... 다행히 최근에 보고 있는 물리학 책은 없네요...^^)
ExtraD 2005/10/05 09:39 # 답글
물론 괜찮습니다. 제 직업이 '진리를 밝히는' 직업이고 ^_^ 제 자신도 설명하는 걸 아주 좋아하는 편입니다. 언제든 환영입니다.
구슬 2007/04/22 09:58 # 삭제 답글
4차원은 4개의 축으로 만들어져 있는 것입니다. 공간축과 시간축처럼 다른 것은 없습니다. 다만, 우리가 3차원이여서 4차원의 요소를 공간적 요소랑 다르게 느낄 수 밖에 없다는거죠. 우리 공간 전체가 4차원의 축을 따라 이동하는데 우리가 볼 수 없다는 것 뿐입니다. 그러므로, 5차원적 이동은 4차원인 시공간이 한꺼번에 이동하는 것이고, 결국 우리는 그것을 느낄 수 없다는 결론에 이르게 됩니다. 우리가 느끼는 것은 4차원적이기 때문입니다. 우리가 상상하는 것이나 여러가지 상황을 생각해 보는 것이 5차원적 일에 속합니다.
지나가는 사람 2008/02/15 21:06 # 삭제 답글
그렇다면 구슬님의 말씀에 따르자면 우리의 생각이 어떤 물질들로 인한 상호작용인가요? 단지 우리는 3차원공간상의 물질들을 느낄 수 있기때문에 생각이라는 작용에 활용되는 물질을 느끼지못하는건가요?